Bahía Blanca | Martes, 04 de octubre

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Un bahiense está cerca de demostrar el más famoso de todos los teoremas

El ingeniero bahiense Carlos Filipich, luego de casi una década de trabajo, habría resuelto un problema que planteó el francés Pierre Fermat en 1650.

Foto: Pablo Presti-La Nueva.
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Audionota: Guillermo Crisafulli

Por Mario Minervino / mminervino@lanueva.com

   “El número es el gobernante de las formas e ideas, y la causa de los dioses y demonios”. (Pitágoras)

   Si bien ya hubo una demostración, dada a conocer en 1995, el llamado “Último teorema de Fermat”, planteado en 1650 por Pierre Fermat y considerado uno de los mayores retos de la historia de la matemáticas, no ha podido todavía ser probado recurriendo a las matemáticas de las que disponía Fermat en el siglo XVII. 

   El ingeniero bahiense Carlos Filipich, luego de casi una década de trabajo, está a punto de dejar resuelta ese mítico problema.

   Pocos planteos han logrado la fama del teorema planteado por el francés Pierre Fermat (1601-1665) y que durante casi 350 años no pudo ser comprobado, a pesar de haberlo intentado los más brillantes matemáticos de la historia. 

El francés Pierre Fermat (1601-1665)

   ¿Por qué esa notoriedad, esa persistencia y esa obstinación por probarlo? Por empezar, por la simpleza del planteo, muy fácil de entender. 

   Se trata de una igualdad que señala que la suma de dos números elevados a una misma potencia “n” es igual a un tercer número, elevado a esa misma potencia. 

   En números y letras: Fermat señaló que, salvo para cuando n=2, la igualdad no se verifica nunca, para ningún otro “n” entero positivo y aseguró –y ahí abrió el gran desafío— “haber encontrado una demostración maravillosa” para su hipótesis, aseveración que escribió de puño y letra en la página del libro que estaba leyendo. 

   Y agregó: “Este margen es demasiado pequeño para contenerla”. Jamás se encontró esa prueba.  

   Cabe anticipar que el teorema fue demostrado en 1995 por el matemático británico Andrés Wiles, que logró resolverlo recurriendo a matemáticas de altísima complejidad --la teoría de las Curvas Elípticas--, por lo cual su demostración no se puede emparentar con la que pudo haber desarrollado Fermat. Por eso, lejos de poner punto final a la historia, el desafío siguió abierto. 

   Por estas horas, el ingeniero Filipich acaba de terminar su demostración, luego de casi diez años de trabajo, a partir de un planteo propio y original, recurriendo a parte de las matemáticas a las que tenía acceso Fermat. 

   De verificarse su trabajo como correcto, será un logro de trascendencia mundial en el campo de las matemáticas.

El porqué de semejante fama

   “Conozco una demostración maravillosa pero el margen de este libro es demasiado pequeño para contenerla”. (Pierre Fermat, 1650)

   La historia del “último teorema de Fermat” tiene características únicas. 

   “No existe ningún otro ejemplo que se le parezca, no solo dentro de la matemática sino de ninguna otra ciencia. Un problema abierto por siglos, con un enunciado tan sencillo que terminó tentando aún a los menos experimentados”, mencionó Simon Singh en su libro “El último teorema de Fermat”.

   El planteo surgió cuando realizó “una simple modificación” al famoso teorema de Pitágoras, aquel que señala que la suma de los catetos de un triángulo rectángulo, llamados a y b, elevados al cuadrado, es igual a su hipotenusa, c, elevada al cuadrado. 

   Fermat reemplazó ese 2, el cuadrado, por una “n”, letra que simboliza a todos los números enteros y positivos mayores que 2. De modo que la ecuación es tan simple como la anterior. Luego aseguró qué esa igualdad no se verifica para ningún valor de n, salvo el 2. 

   Hasta ahí, una conjetura más por demostrar. Lo que la convirtió en algo distinto fue aquella afirmación de haber encontrado una demostración. La cual nunca nadie halló. Ni una pista, ni un indicio. Una conducta que sin embargo no era extraña en Fermat, que solía resolver un problema en su mente pero no se ocupaba luego por desarrollarlo y escribirlo. 

   Pero su prestigio fue suficiente para impulsar durante tres siglos a matemáticos de todas las tallas a intentar su resolución, sin éxito. 

   Y si bien el teorema fue probado en 1995 por el británico Andrés Wiles (1953) en un escrito de casi 200 páginas, su resolución exigió el uso de matemáticas de altísima complejidad. Por eso el desafío de probarlo no perdió vigencia, asumiendo que la “maravillosa demostración” no encontró todavía quien la escriba. 

Hasta el final de los tiempos

   El ingeniero civil Carlos Filipich, de 82 años, es uno de los muchos que ha recogido el guante y mencionó estar “muy cerca” de aportar la solución al gran planteo de todos los tiempos. 

   “Creo que lo resolví”, señaló a este diario, conmovido, pero a la vez medido y cauteloso. 

   Sabe que aún le queda un último (gran) paso: verificar su trabajo con su “asesor matemático” y esperar que no se le haya colado algún error que, por mínimo que sea, invalide su trabajo. 

   Si eso no ocurre, su logro tendrá ribetes de hazaña. 

   Y algo más: como toda comprobación matemática, su desarrollo se sustenta en un proceso lógico. Y una vez verificado tienen una cualidad única: la misma es absoluta y verdadera hasta el final de los tiempos.

   Nacido en Bahía Blanca, docente e investigador de las Universidades Nacional del Sur y Tecnológica Nacional y profesor consulto de ambas instituciones, Filipich es extremadamente cálido en el trato, extrovertido, entusiasta, de muy buen sentido del humor, pianista talentoso y, sobre todo, de una humildad que gratifica. 

   Es además, por experiencia propia como alumno suyo que he sido, un profesor con cualidades pedagógicas maravillosas. 

   Su relación con el teorema comenzó casi de casualidad, mientras en 2011 preparaba su discurso para el acto en el que fue designado Académico de Ingeniería de Buenos Aires. 

   “Lo titulé `La máxima invención de la mente humana´, en referencia a un cálculo que yo adjudico a Isaac Newton y no a Gottfried Leibniz, como es habitual hacerlo. Ese disertación me llevó a buscar bibliográfica adicional y fue un matemático, Edgardo Fernández Stacco, quien me recomendó el libro "Calculus Gems: Brief Lives and Memorable Mathematics” (Gemas de cálculo: vidas breves y matemáticas memorables), de George Simmons. En sus páginas encontré la referencia a Fermat, la cual me introdujo y me llevó a este desafío”.

   En esa labor, “que incluyó sucesivas peladas de frente", recurrió de manera periódica a un matemático de la UNS, el doctor Pablo Panzone, quien fue supervisando sus avances. 

   “Cada seis meses Pablo ha tenido la paciencia de aguantarme, de corregir mis errores y omisiones, sobre todo por mi falta de formación matemática. El me recomendó además el libro "Fermat's Last Theorem, for Amateurs", de Paulo Ribenboim, el único que utilizo como consulta y que, además, en uno de sus capítulos, justifica con contundencia el esfuerzo que decidí afrontar”.

   Escribió Ribenboim: “Cuando una prueba largamente buscada es descubierta, es el momento de la victoria, el final de la saga. Pero en el caso de Fermat hay algunos que no están satisfechos con la demostración encontrada mediante curvas elípticas y formas modulares, por considerarlas ajenas al problema. Es una tarea legítima tratar de encontrar otra prueba, más simple, propia del siglo XVII”.

Una demostración maravillosa, un algoritmo original 

   “En el segundo patio/la canilla periódica gotea, /fatal como la muerte de César. /Las dos son piezas de la trama que abarca/el círculo sin principio ni fin/, el ancla del fenicio, /el primer lobo y el primer cordero, /la fecha de mi muerte/el teorema perdido de Fermat”. (La Trama, Jorge Luis Borges).

   Filipich culminó su demostración luego de encontrar cómo darle un giro clave a su demostración, a partir de plantear un original algoritmo, el cual le permitió ir obteniendo “logros inesperados”. 

   Pero repasemos un poco desde el inicio esta dedicación.

   --¿Qué lo animó a enfrentarse con un teorema que durante 350 años matemáticos de la talla de Gauss, Laplace y Euler no lograron?

   --El desafío de encontrar una demostración alternativa a la de Andrés Wiles, a partir del uso de matemáticas elementales. Esa fue mi principal motivación.

   --¿Fermat habrá encontrado realmente esa “demostración maravillosa”?

   --Creo que tenía una idea de cómo acometerla, pero no se puede saber si no encontró problemas al desarrollarla. Nadie piensa que mintió. Seguramente creyó de buena fe que podía hacerlo. Pero bueno, si existió es una prueba pérdida.

   --¿Qué se entiende por matemáticas elementales?

   --Son algunas de las herramientas de álgebra y teoría de números que manejaba Fermat, con las que aseguró haber hallado su demostración. En mi caso trabajé con números primos. Sabiendo que todo número entero positivo se puede expresar como producto de potencias de números primos reescribí la ecuación de Fermat de otra manera, equivalente. A partir de eso es que empecé a encontrar nuevas respuestas.

   --¿Ahí percibió que iba por buen camino?

   --Venía haciendo un esfuerzo fenomenal desde hace años y varias veces creí estar cerca de demostrarlo. Pero este recurso que, creo, es original, fue el que me llevó finalmente a encontrar una solución. Me queda ahora reunirme con mi asesor matemático. Entonces sabré definitivamente si mi deducción es correcta.

   --¿Es una demostración completamente distinta a la de Wiles?

   --Claro. La matemática que manejó Wiles en su prueba es superior, compleja, entre las más difíciles del mundo, ni siquiera estoy en condiciones de leerla. De hecho pocos matemáticos del planeta son capaces de entenderla. 

   --¿Fue clave sin embargo que Wiles haya probado el teorema?

   --Fundamental. Mi trabajo se inicia suponiendo que la ecuación de Fermat es falsa. Es lo que se llama “demostración por el absurdo”, un camino muy frecuentado por los matemáticos. El objetivo fue entonces buscar números primos que la verifican, lo cual es un absurdo  ya que Wiles probó que no se cumple para ningún número entero positivo, salvo el 2. Haber encontrado esa contradicción confirma la certeza del teorema, esa es mi verificación.

   --Si su demostración es acertada sería un hito en la historia.

   --Es cierto. Pero trabajar en esto ha sido en parte un hobby, uno muy grande. Me tuve incluso que abstraer del día a día durante años. Era algo extemporáneo, que hasta me ayudó a olvidar, por momentos, la situación en que vivimos. Y luché también con mis limitaciones por no ser un matemático, soy ingeniero civil, con un doctorado en ingeniería y más de cien trabajos publicados, pero ninguno relacionado con los números. Pero bueno, con el tiempo encontré algo novedoso que me llevó a resultados inesperados y, finalmente, a lo que creo es la solución.

El último paso 

   “No hay problema que pueda aguantar el ataque sostenido del pensamiento”, escribió Voltaire. 

   La demostración lograda por Filipich está sobre la mesa. Un camino que realizó con entrega y pasión entre los enigmáticos números primos, con un algoritmo “mágico” y una gran cuota de obstinación. 

   Falta ahora un paso adicional, no menor, una revisión por parte de los matemáticos. Si todo está bien, un enigma de siglos ya no tendrá margen para las dudas. 

Wiles, cruzando un puente japonés

   Wiles demostró el teorema de Fermat de manera indirecta. Su trabajo consistió en probar la denominada “conjetura de Taniyama-Shimura”, desarrollada en 1955 por los japoneses Yutaka Taniyama (1927-1958) y Goro Shimura (1930-2019). 

   La misma plantea la existencia de una relación directa entre dos campos muy diferentes y hasta entonces ajenos de las matemáticas: el de las curvas elípticas y el campo modular. La conjetura asegura que toda fórmula elíptica tiene, siempre, una equivalente en el campo modular. 

   Si existe en uno, existe en el otro. Es un puente entre dos mundos dispares pero inesperadamente relacionados.

   El siguiente momento clave ocurrió en 1984, cuando el matemático Gerhard Frey (1944) reescribió la igualdad de Fermat como una ecuación elíptica, es decir, una fórmula equivalente mediante una expresión completamente diferente. Descubrió entonces que la igualdad planteada por Fermat expresada en lenguaje elíptico no tenía su equivalente en el mundo modular. Es decir que en ese campo no existía, no se cumplía, que la afirmación de Fermat era cierta. 

El matemático británico Andres Wiles.

   Pero claro, para poder sacar provecho de manera definitiva a esa conclusión había que demostrar  la conjetura-puente de Taniyama-Shimura. Es decir, la aseveración de que toda ecuación elíptica tiene siempre su equivalente modular.

   A eso se dedicó Wiles durante siete años. La demostración de la conjetura de los matemáticos japoneses es la que presentó en 1995. Verificada la misma, quedaba demostrado el más famoso de los teoremas. 

   Pero es claro, una vez más, que esa prueba, válida y aceptable, nada tiene que ver con la que aseguró haber encontrado Fermat hace 343 años, aquella que no pudo escribir en el estrecho margen que tenía ante sus ojos y que ahora un profesional bahiense parece haber encontrado.